微積分
各単元は独立したページで解説しています。1ページに全単元を詰め込まず、図・式・例題・演習を1単元ずつ学べます。
微積分の全16単元
学びたい単元を選んでください。重点単元から順次、図と解法を詳しく改善しています。
- 第1単元数列・関数の極限学習する →
極限は「ある値へ近づくとき、関数値がどこへ近づくか」を調べる考え方。直接代入で0/0になる式は、因数分解などで同値な式に変形する。
- 第2単元連続と微分可能性学習する →
連続はその点の極限値と関数値が等しいこと。微分可能なら連続だが、連続でも角のある点では微分できない。
- 第3単元導関数・合成関数学習する →
微分は一瞬の変化率。合成関数では外側を微分し、内側の導関数を掛ける（連鎖律）。
- 第4単元積・商の微分学習する →
複数の関数の積を微分するときは両方の変化を考える。商は分母を二乗する公式を使える。
- 第5単元増減・極値・最適化学習する →
導関数の符号が正なら増加、負なら減少。停留点だけで結論を出さず、前後の符号と定義域の端点を確認する。
- 第6単元テイラー展開学習する →
滑らかな関数を、ある点の近くで多項式で近似する手法。近似の範囲を広げすぎないことが重要。
- 第7単元不定積分学習する →
積分は微分を逆向きにたどる操作。原始関数には任意定数Cが付く。
- 第8単元定積分・微積分学の基本定理学習する →
区間全体の蓄積量を計算する。原始関数Fを見つければF(b)−F(a)で評価できる。符号付き面積なので負にもなる。
- 第9単元置換積分学習する →
複合関数の積分では内側の式をuと置くと簡単になる。定積分では積分範囲もuに変える。
- 第10単元部分積分学習する →
積の微分公式を積分へ逆用する。多項式×指数関数や対数関数の積分で便利。
- 第11単元広義積分学習する →
積分範囲が無限大、または被積分関数が発散する点を含む場合は、極限で収束・発散を判定する。
- 第12単元偏微分・全微分学習する →
多変数関数の偏微分では他の変数を固定する。全微分は複数変数の微小な変化を一次近似する。
- 第13単元多変数の極値・ヘッセ行列学習する →
臨界点では勾配が0。二変数でヘッセ行列が正定値なら局所極小、負定値なら局所極大となる（十分条件）。
- 第14単元重積分とヤコビアン学習する →
平面上の密度や体積などを積分する。極座標では面積要素にrが付くのが重要。
- 第15単元一次微分方程式学習する →
指数増減や冷却などを表す。変数分離形ならxとyを分けて積分し、初期条件で定数を決める。
- 第16単元二階線形微分方程式学習する →
振動・RLC回路などに現れる。定係数斉次方程式は特性方程式の根から一般解を組み立てる。