電気系大学生の自習室

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連続と微分可能性

連続はその点の極限値と関数値が等しいこと。微分可能なら連続だが、連続でも角のある点では微分できない。

現象から理解する：何が起こり、なぜ起こる？

連続とは、近づいて観測した関数値の極限が、その点で定義された値と一致することです。一方、微分可能とは、点の左右から割線の傾きを近づけると同じ値に収束すること。グラフが途中で切れていなくても、角がある場所では微分できないことがあります。

連続とは、グラフを点aの左右からたどって近づいたときの高さが、実際の関数値f(a)と一致することです。これに対して微分可能性は、その点へ近づく割線の傾きが左右とも同じ値へ近づくことを要求します。

絶対値f(x)=|x|はx=0で途切れずにつながるので連続ですが、左側の傾きが−1、右側の傾きが+1となる尖った角があるため微分できません。微分可能なら連続ですが、その逆は必ずしも成り立ちません。

現象を表す公式・定義

lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)

この公式を使えるのはどんなとき？

点aでf(a)が定義され、左右極限が存在し、左右極限とf(a)が一致するか調べる場合の連続条件です。

何を代入し、どう使う？

例えばf(x)=|x|、a=0ならf(0)=0、右極限も左極限も0なので連続です。微分可能性は別途 lim h→0 [f(a+h)−f(a)]/h の左右一致を確認します。

使えない条件・検算のポイント

連続であっても微分可能とは限りません。折れ点f(x)=|x|では左右の傾きが異なります。ジャンプ不連続やf(a)が未定義の場合は連続ではありません。

現象を図で理解する

y=|x| は連続x=0 の角
絶対値関数は切れずに繋がるのでx=0で連続。
x=0で連続ただし微分不可

模式図は理解を助けるための相対表示です。実際のSI単位の値や境界条件は式・例題で確認してください。

模式図は法則を理解するための補助です。実際に代入する数値や条件は、公式と問題文で確認してください。

式が成り立つ理由・導出の流れ

適用条件：実数関数fについて内点aの両側で関数値が定義され、連続性は左右極限とf(a)の一致で判定する。微分可能性は左右差分商の一致で判定する。

冒頭の基本式は、現象の向き・保存則・変化率から導かれます。下の例題ではどの項を残し、何を既知量とするかを順に確認します。

代表的な計算式

f(x)=∣x∣ は x=0 で微分不可能\displaystyle f(x)=|x|\text{ は }x=0\text{ で微分不可能}

よくあるミス・検算の観点

  • 連続であることと微分可能であることを同一視しない。絶対値の角は典型的な反例。
  • 微分可能性を調べる前に、関数がその点で定義されているか、連続かを確認する。
  • 二つの式が区切り位置で同じ値になるだけでは、左右の微分係数まで等しいとは限らない。

単位、符号、初期条件、ベクトルの向きを最後に確認しましょう。

例題1（基本）｜何を求めるかから始める

左の傾き−1 ／右の傾き+1x=0 の角
x=0に尖った角があると左右の差分商の極限が一致せず微分できない。
なぜその法則を使う？ 計算の順序と検算
  1. f(x)=|x|をx=0で調べる。f(0)=0。
  2. x→0−では−x→0、x→0+ではx→0。左右極限が0に一致し、f(0)と等しいので連続。
  3. 微分係数はlim_{h→0}(|h|−0)/h。
  4. h>0なら差分商=1、h<0なら差分商=−1。左右で異なるため微分係数は存在しない。
  5. したがってfはx=0で連続だが微分可能ではない。逆に、微分可能なら必ず連続。

例題2（標準）｜f(x)=x(x<0)、f(x)=x+1(x≥0)はx=0で連続か。

  1. 左極限0、右極限1、f(0)=1。
  2. 左右極限が異なるため不連続。微分もできない。

演習問題（基本・標準・発展）

基本から段階的に考えるオリジナル問題です。内容確認中の単元には共通の復習問題も残しています。

左右の極限が違う → 不連続
ジャンプしてしまう関数では左右極限が一致せず連続でない。
基本 1

f(x)=|x|はx=0で連続か、微分可能か。

y=|x|, x=0左右から調べる
問題1の考え方を整理する図。実際の数値・条件：f(x)=|x|はx=0で連続か、微分可能か。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 左右極限はどちらも0でf(0)=0なので連続。
  2. 左右差分商は−1と+1、微分可能でない。
基本 2

f(x)=|x−2|はx=2で微分可能か。

y=|x−2|, x=2左右から調べる
問題2の考え方を整理する図。実際の数値・条件：f(x)=|x−2|はx=2で微分可能か。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. x=2の左右差分商はそれぞれ−1と+1。
  2. 一致しないので微分不可能（ただし連続）。
基本 3

f(x)=x²(x≤1)、f(x)=2x−1(x>1)はx=1で連続か、微分可能か。

2つの式をx=1で接続左右から調べる
問題3の考え方を整理する図。実際の数値・条件：f(x)=x²(x≤1)、f(x)=2x−1(x>1)はx=1で連続か、微分可能か。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 左右の値は1、f(1)=1なので連続。
  2. 左側導関数2xを1で評価すると2、右側2も一致。微分可能。
標準 4

f(x)=x(x<0)、f(x)=x+1(x≥0)はx=0で連続か。

x=0でジャンプ左右極限は不一致
問題4の考え方を整理する図。実際の数値・条件：f(x)=x(x<0)、f(x)=x+1(x≥0)はx=0で連続か。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 左極限0、右極限1、f(0)=1。
  2. 左右極限が異なるため不連続。微分もできない。
標準 5

f(x)=x²(x<1)、f(x)=a(x≥1)をx=1で連続にするaを求めよ。

定数aを連続条件から決める左右から調べる
問題5の考え方を整理する図。実際の数値・条件：f(x)=x²(x<1)、f(x)=a(x≥1)をx=1で連続にするaを求めよ。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 左極限は1、右極限と関数値はa。
  2. a=1で連続となる。右側の傾き0、左側2のため微分可能ではない。
発展 6

f(x)=x²sin(1/x)(x≠0)、f(0)=0はx=0で微分可能か。

x²sin(1/x), f(0)=0左右から調べる
問題6の考え方を整理する図。実際の数値・条件：f(x)=x²sin(1/x)(x≠0)、f(0)=0はx=0で微分可能か。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 連続：|x²sin(1/x)|≤x²→0。
  2. 差分商(f(h)−f(0))/h=h sin(1/h)→0。微分可能でf′(0)=0。
発展 7

f(x)=x|x|はx=0で微分可能か。

x|x|の微分可能性左右から調べる
問題7の考え方を整理する図。実際の数値・条件：f(x)=x|x|はx=0で微分可能か。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. f(0)=0。差分商f(h)/h=|h|（h≠0）。
  2. h→0で|h|→0なので微分可能でf′(0)=0。

問題に添えた図は考えるための模式図です。数値や関係を判断するときは必ず問題文の条件を優先してください。

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未完了

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