院試数学：微積分・線形代数・微分方程式

理工系大学院の基礎数学を、公式の選択、途中式、検算の順に学ぶための独自例題です。出題科目・範囲は志望先ごとに確認してください。

例題1：置換積分

次の定積分を求めます。

1. 分母の微分が分子と一致するので u=1+x² と置きます。
2. du=2x dx、積分区間はx=0→u=1、x=1→u=2となります。
3. 1/uの積分を求めます。

検算：被積分関数は区間内で非負、よって結果も正です。関連：不定積分、置換積分（内容確認中）。

例題2：固有値と固有ベクトル

次の実対称行列を考えます。

1. det(A−λI)=0と置くと(2−λ)²−1=0です。
2. (λ−1)(λ−3)=0なので固有値は1と3です。
3. λ=3ならx=yなので(1,1)ᵀ、λ=1ならx=−yなので(1,−1)ᵀを固有ベクトルにできます。

検算：Av₁=3v₁、Av₂=v₂を満たします。またtr(A)=4は固有値の和、det(A)=3は積に一致します。関連：固有値。

例題3：一次微分方程式の初期値問題

y′+2y=4、y(0)=1を解きます。

1. 右辺4に対する定常特解はy=2です。
2. 斉次方程式y′+2y=0の解はCe^(−2t)です。
3. y=2+Ce^(−2t)に初期値を代入し、C=−1を求めます。

検算：y′=2e^(−2t)を代入するとy′+2y=4、y(0)=1になります。関連：一次線形微分方程式。

数学を復習する順序

練習問題

B=diag(2,5)の固有値の和・積を求めてください。

このページの例題・図は学習用に作成した独自内容です。大学の公式過去問や公式解答ではありません。試験科目、配点、募集要項は大学・専攻・年度によって異なるため、志望先の最新公式情報を必ず確認してください。