現象から理解する：何が起こり、なぜ起こる？
閉曲面を貫く電場の総電束は内部の総電荷Qをε₀で割ったもの。電場を求めやすいのは球対称性により球面上でEが一定になる場合です。
点電荷に近いほど電場が強いのに、中心電荷を包む球の大きさを変えても、球面を貫く総電束は変わりません。球を広げると面積が増える分、単位面積を通る電束が小さくなるためです。
電場の強さと総電束は違う量です。ガウスの法則はどんな閉曲面にも成り立ちますが、電場を簡単に求められるのは球・円柱・平面などの対称性がある配置です。
現象を表す公式・定義
この公式を使えるのはどんなとき？
真空中で任意の閉曲面の総電束を求めるとき。局所電場を求めるなら、面上で大きさや向きを簡単に定められる対称性も必要です。
何を代入し、どう使う？
Eは電場[N/C]、dSは外向き面積ベクトル[m²]、Qencは包む正味電荷[C]。中心点電荷なら球面上でEが一定なのでE·4πr²=Q/ε₀と置きます。
使えない条件・検算のポイント
外側にのみ電荷がある場合、総電束は0ですが、局所電場が0とは限りません。rを2倍にするとEは1/4、総電束は不変です。
現象を図で理解する
模式図は理解を助けるための相対表示です。実際のSI単位の値や境界条件は式・例題で確認してください。
模式図は法則を理解するための補助です。実際に代入する数値や条件は、公式と問題文で確認してください。
式が成り立つ理由・導出の流れ
適用条件：真空、孤立した点電荷Q、静電場、半径rの球面。外向きを正とします。
冒頭の基本式は、現象の向き・保存則・変化率から導かれます。下の例題ではどの項を残し、何を既知量とするかを順に確認します。
よくあるミス・検算の観点
- 閉曲面が囲む電荷がゼロでも、各点の電場がゼロになるとは限りません。
- ガウス面を球にするだけで対称性が得られるわけではありません。点電荷が中心にある条件を確認しましょう。
- 電場 E の大きさと、面積分で求める総電束 Φ を混同しないでください。
単位、符号、初期条件、ベクトルの向きを最後に確認しましょう。
例題1（基本）｜何を求めるかから始める
- 球対称性より電場は放射状で、同じ半径では大きさE(r)が等しい。
- 球面の法線は電場と平行なので、∮E・dS=E(r)∮dS=E(r)4πr²。
- ガウスの法則 E(r)4πr²=Q/ε₀ より E(r)=Q/(4πε₀r²)。負電荷では内向き。
- rを2倍にすると電場の大きさは1/4。ただし総電束Q/ε₀は変わりません。
例題2（標準）｜無限長線電荷λを包む半径r・長さLの同軸円柱でEを求めよ。
- 側面における電束E(2πrL)が内部電荷λL/ε₀に等しい。
- E=λ/(2πε₀r)。端面からの電束は0。
演習問題（基本・標準・発展）
基本から段階的に考えるオリジナル問題です。内容確認中の単元には共通の復習問題も残しています。
rを2倍にしたときEと総電束はそれぞれ何倍か。
手順と解説を見る
- Eは1/4倍。
- 総電束は1倍。内部電荷Qが変わらないため。
Q=2.0 nC、ε₀=8.85×10⁻¹² F/m の総電束は。
手順と解説を見る
- Φ=Q/ε₀。
- 2.0×10⁻⁹ / 8.85×10⁻¹² ≈ 226 N m²/C。
閉曲面の外側だけに電荷がある。総電束と局所電場はどうなるか。
手順と解説を見る
- 包む正味電荷0なので総電束0。
- しかし局所の電場が0とは限らない。
無限長線電荷λを包む半径r・長さLの同軸円柱でEを求めよ。
手順と解説を見る
- 側面における電束E(2πrL)が内部電荷λL/ε₀に等しい。
- E=λ/(2πε₀r)。端面からの電束は0。
面密度σの無限平面電荷をまたぐピルボックスからEを求めよ。
手順と解説を見る
- 上下2面から総電束2EA。
- 2EA=σA/ε₀よりE=σ/(2ε₀)。
対称性がない場合、ガウスの法則だけで電場を直接計算しづらいのはなぜか。
手順と解説を見る
- 法則は常に成立する。
- 対称性がないとEを積分の外へ出せず、局所のベクトル場を一つの積分関係から決められない。
半径Rの球内に体積電荷密度ρが一様に分布している。球内部r<Rの電場を求め、表面での連続性も示せ。
手順と解説を見る
- 半径rの球が包む電荷はQ(r)=ρ(4πr³/3)。
- 対称性よりE(r)4πr²=Q(r)/ε₀、したがってE(r)=ρr/(3ε₀)。
- 外側ではE(r)=ρR³/(3ε₀r²)。r=Rで両者はρR/(3ε₀)となり連続。
問題に添えた図は考えるための模式図です。数値や関係を判断するときは必ず問題文の条件を優先してください。
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未完了関連単元・参考資料
前後の単元を続けて読むと、定義から応用までのつながりを確認できます。院試の過去問は大学の公式公開先を参照し、当サイトには独自解説・オリジナル練習問題を掲載します。