線形代数
各単元は独立したページで解説しています。1ページに全単元を詰め込まず、図・式・例題・演習を1単元ずつ学べます。
線形代数の全16単元
学びたい単元を選んでください。重点単元から順次、図と解法を詳しく改善しています。
- 第1単元ベクトルと内積学習する →
ベクトルには大きさと向きがある。内積は成分ごとの積の和で、2ベクトルの角度を判定できる。直交なら内積0。
- 第2単元行列の積と線形写像学習する →
行列Aは入力ベクトルを別のベクトルへ写す規則。積ABは先にB、次にAを作用させる。一般にAB≠BA。
- 第3単元逆行列学習する →
逆行列は線形変換を元へ戻す写像。行列式が0でない正方行列だけに存在する。
- 第4単元行列式学習する →
行列式は面積・体積が何倍になるかの符号付き倍率。0なら次元を潰す変換で逆行列が存在しない。
- 第5単元連立一次方程式と掃き出し法学習する →
方程式Ax=bを拡大係数行列で表し、行基本変形で階段形にする。解が一意か無限個か不適合かは階数で判定する。
- 第6単元階数（ランク）学習する →
行列の列が張る空間の次元。独立な列の最大数であり、基底や連立方程式の解の自由度に関係する。
- 第7単元一次独立と基底学習する →
ベクトルの線形結合が0となるのが自明な係数だけなら一次独立。空間を張る独立なベクトルの組が基底。
- 第8単元核・像と階数・退化次数学習する →
核はAx=0となる入力全体、像はAで得られる出力全体。rank-nullityは両者の次元を結ぶ。
- 第9単元固有値・固有ベクトル学習する →
変換で方向が保たれ、長さだけがλ倍されるベクトルを固有ベクトルという。固有値はdet(A−λI)=0で探す。
- 第10単元対角化学習する →
独立な固有ベクトルがn本そろうとP⁻¹AP=Dで対角化できる。行列のべき乗や微分方程式を簡単にする。
- 第11単元直交行列と直交射影学習する →
直交行列Qは長さと角度を保ち、QᵀQ=I。射影はベクトルを特定の部分空間へ落とす操作。
- 第12単元グラム・シュミット直交化学習する →
独立なベクトル群から、同じ空間を張る直交（規格化で正規直交）基底を作る方法。
- 第13単元対称行列と二次形式学習する →
実対称行列は直交行列で対角化でき、固有値は実数。二次形式xᵀAxの正負から極値の性質を調べられる。
- 第14単元最小二乗法学習する →
測定値に誤差があるとき、残差の二乗和を最小にする近似解を求める。列独立のAでは正規方程式が一意解を持つ。
- 第15単元複素固有値と回転学習する →
実数行列でも固有値は複素数になり得る。平面で90°回転する変換は実固有ベクトルを持たない。
- 第16単元行列指数と線形微分方程式学習する →
連立一次微分方程式x′=Axの解は行列指数で書ける。対角化可能な場合は各成分の指数関数へ分解できる。