電気系大学生の自習室

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電位・電位差

電位は単位電荷あたりの位置エネルギーでスカラー。電場は電位の空間的な減少方向を向く。

現象から理解する：何が起こり、なぜ起こる？

電位は単位電荷あたりの電気的な位置エネルギーを表すスカラー量で、任意の基準からの差が物理的意味を持ちます。正の点電荷から離れるほど電位が低くなり、電場は電位が急激に下がる方向を向きます。電位はスカラーなので、複数電荷の寄与を符号込みで加算できます。

電位は、正の微小電荷が持つ単位電荷あたりの電気的な位置エネルギーで、基準点との電位差に意味があります。正の点電荷から離れるほど電位は低くなり、その減少方向に電場が向きます。

電場はベクトルですが電位はスカラーなので、左右に同じ正電荷を置くと中央で電場が0になっても、二つの電荷の電位は加算されて正の値を持ちます。電位の距離依存1/rと電場の距離依存1/r²を区別しましょう。

現象を表す公式・定義

V(r)=q4πε0r,E=−∇V\displaystyle V(r)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r},\qquad\mathbf E=-\nabla V

この公式を使えるのはどんなとき？

静電場で電位差が経路によらず、真空の孤立点電荷を対象として無限遠をV=0と決めた場合。電場との関係E=−∇Vは静電場の条件で使います。

何を代入し、どう使う？

qは電荷[C]、rは距離[m]、ε₀は真空の誘電率。+1 μCの点電荷から1 mでV≈8.99×10³ V。電位差はVB−VAであり、試験電荷q₀の位置エネルギーはU=q₀Vです。

使えない条件・検算のポイント

電位のゼロは任意なので、異なる基準の絶対値を直接比較しません。時間変化する磁束を伴う一般の電磁場ではE=−∇Vだけで表せず、−∂A/∂tの項が必要です。

現象を図で理解する

+PrV=kq/r距離が2倍→Vは1/2
無限遠を電位0とすれば正点電荷の電位は正、距離に反比例して小さくなる。
+基準: V(∞)=0電位 V=kq/r、電場 E=kq/r²

模式図は理解を助けるための相対表示です。実際のSI単位の値や境界条件は式・例題で確認してください。

模式図は法則を理解するための補助です。実際に代入する数値や条件は、公式と問題文で確認してください。

式が成り立つ理由・導出の流れ

適用条件：真空中の静止点電荷、基準電位V(∞)=0、観測距離r>0。電場が静電場であり、電位差の線積分が経路に依存しないと仮定する。

冒頭の基本式は、現象の向き・保存則・変化率から導かれます。下の例題ではどの項を残し、何を既知量とするかを順に確認します。

代表的な計算式

E=−∇V,V=q4πε0r\displaystyle \mathbf E=-\nabla V,\quad V=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}

よくあるミス・検算の観点

  • 電位Vはスカラー、電場Eはベクトル。電位が0でも電場が0とは限らず、逆もある。
  • 電位は1/r、電場の大きさは1/r²で変化する。どちらの式か確認する。
  • 電位差はV(B)−V(A)=−∫A^B E·dl。経路独立性は静電場の仮定に依存する。

単位、符号、初期条件、ベクトルの向きを最後に確認しましょう。

例題1（基本）｜何を求めるかから始める

+PrE は V が下がる方向電場の強さは1/r²
正電荷から離れる方向に電位は低下し、電場Eは電位の減少方向。
なぜその法則を使う？ 計算の順序と検算
  1. +1.0 μCの点電荷から1.0 mの電位を求める。無限遠を0 Vとする。
  2. 点電荷の電位はV=kq/r、k=1/(4πε₀)≈8.99×10⁹。
  3. 代入するとV≈8.99×10⁹×10⁻⁶/1=8.99×10³ V。
  4. 距離2.0 mでは約4.49×10³ V。正電荷から外側へ進むと電位が下がる。
  5. 電場はE=−∇V。点電荷ではEの大きさはk|q|/r²であり、電位1/rとは異なる距離依存になる。

例題2（標準）｜+1.0 μCの点電荷に対し、Aはr=1 m、Bはr=2 m。電位差V(B)−V(A)を求めよ。

  1. V(A)≈8.99×10³ V、V(B)≈4.49×10³ V。
  2. V(B)−V(A)≈−4.49×10³ V。

演習問題（基本・標準・発展）

基本から段階的に考えるオリジナル問題です。内容確認中の単元には共通の復習問題も残しています。

+Pr電位はスカラー・符号つき2個の電荷の電位は足し算
電位はスカラーなので各電荷の符号つき寄与を足す。電場はベクトル和。
基本 1

真空中で+1.0 μCの点電荷からr=1.0 mにある点の電位を無限遠を0として求めよ。

++1 μC, r=1 mV はエネルギー/電荷
問題1の考え方を整理する図。実際の数値・条件：真空中で+1.0 μCの点電荷からr=1.0 mにある点の電位を無限遠を0として求めよ。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 点電荷の電位V=kq/r。
  2. 8.99×10⁹×10⁻⁶/1≈8.99×10³ V（正）。
基本 2

−1.0 μCの点電荷から2.0 mにある点の電位を求めよ。

−−1 μC, r=2 mV はエネルギー/電荷
問題2の考え方を整理する図。実際の数値・条件：−1.0 μCの点電荷から2.0 mにある点の電位を求めよ。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. V=kq/rで電荷が負なので電位も負。
  2. V≈−8.99×10³/2=−4.49×10³ V。
基本 3

点電荷の電荷量が一定のまま観測距離rを2倍にした。無限遠基準の電位は何倍か。

+r→2r：1/2V はエネルギー/電荷
問題3の考え方を整理する図。実際の数値・条件：点電荷の電荷量が一定のまま観測距離rを2倍にした。無限遠基準の電位は何倍か。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. V=kq/rはrの逆数に比例。
  2. 元の1/2倍（符号は変わらない）。
標準 4

+1.0 μCの点電荷に対し、Aはr=1 m、Bはr=2 m。電位差V(B)−V(A)を求めよ。

+A:1 m → B:2 mV はエネルギー/電荷
問題4の考え方を整理する図。実際の数値・条件：+1.0 μCの点電荷に対し、Aはr=1 m、Bはr=2 m。電位差V(B)−V(A)を求めよ。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. V(A)≈8.99×10³ V、V(B)≈4.49×10³ V。
  2. V(B)−V(A)≈−4.49×10³ V。
標準 5

一様電場100 V/mが+x方向を向く。xを0.20 m増加させると電位差は。

+一様電場 100 V/mV はエネルギー/電荷
問題5の考え方を整理する図。実際の数値・条件：一様電場100 V/mが+x方向を向く。xを0.20 m増加させると電位差は。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. ΔV=−∫E·dl。方向が一致するため−EΔx。
  2. ΔV=−100×0.20=−20 V。
発展 6

+1.0 μCの点電荷から1.0 mの位置に+2.0 nCの試験電荷を置く。位置エネルギーUを無限遠基準で求めよ。

+試験電荷 +2 nCV はエネルギー/電荷
問題6の考え方を整理する図。実際の数値・条件：+1.0 μCの点電荷から1.0 mの位置に+2.0 nCの試験電荷を置く。位置エネルギーUを無限遠基準で求めよ。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. その場所の電位は約8.99×10³ V。
  2. U=q₀V=2.0×10⁻⁹×8.99×10³≈1.80×10⁻⁵ J。
発展 7

x=−1 mとx=+1 mの2点に各+1.0 μCの点電荷を置く。原点での電位と電場を求めよ。

+左右に2個の正電荷V はエネルギー/電荷
問題7の考え方を整理する図。実際の数値・条件：x=−1 mとx=+1 mの2点に各+1.0 μCの点電荷を置く。原点での電位と電場を求めよ。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 電位はスカラー和、V=2kq/1≈1.80×10⁴ V。
  2. 左右の電場は同じ大きさで逆向きのため、合成電場E=0 N/C。

問題に添えた図は考えるための模式図です。数値や関係を判断するときは必ず問題文の条件を優先してください。

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未完了

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