電気系大学生の自習室

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電場と重ね合わせ

電場は単位正電荷に働く力。各電荷が作る電場をベクトル和として足す。

現象から理解する：何が起こり、なぜ起こる？

点電荷が作る電場とは、その場所へ正の試験電荷を置いたとき単位電荷あたりに働く力です。正電荷は周囲へ外向き、負電荷は内向きの電場を作ります。電場は『大きさだけ』ではなく向きもあるベクトル量です。

電場は、ある位置にごく小さな正の試験電荷を置いたとき、どの向きにどの程度の力を受けるかを示すベクトル量です。正の点電荷は周囲に外向きの電場を作り、負の点電荷は内向きの電場を作ります。距離が2倍になると電場の大きさは4分の1です。

電場が複数存在する場合、各電荷が作る電場を方向つきで足します。たとえば同じ大きさの正電荷を左右対称に置けば、その中点では左の電荷からの右向き電場と右の電荷からの左向き電場が相殺されます。大きさをそのまま足すのではなく、向きに注目することが重要です。

現象を表す公式・定義

E=Fq0,Eq=14πε0q r∣r∣3\displaystyle \mathbf E=\frac{\mathbf F}{q_0},\qquad\mathbf E_q=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\,\mathbf r}{|\mathbf r|^3}

この公式を使えるのはどんなとき？

真空中で静止する点電荷が作る電場、または正の微小な試験電荷に働く力から電場を定義するとき。q0は正の試験電荷です。

何を代入し、どう使う？

Eは電場[N/C=V/m]、Fは力[N]、q0は正の試験電荷[C]。点電荷qによる電場は観測点までの位置ベクトルrを用い、方向と大きさを決めます。+1 μCから1 mならE≈8.99×10³ N/Cで外向きです。

使えない条件・検算のポイント

負の試験電荷に働く力は電場と逆方向です。複数電荷の合成ではE=E1+E2+…をベクトルとして計算し、成分を足します。真空以外の複雑な媒質や有限サイズの電荷分布は適切なモデルが必要です。

現象を図で理解する

+E は正電荷から外向き
正の点電荷は外向き、負の点電荷は内向きの電場を作る。
+E →電荷 +1 μC：電場の大きさは 1/r²

模式図は理解を助けるための相対表示です。実際のSI単位の値や境界条件は式・例題で確認してください。

模式図は法則を理解するための補助です。実際に代入する数値や条件は、公式と問題文で確認してください。

式が成り立つ理由・導出の流れ

適用条件：真空中で静止した点電荷。試験電荷は十分小さく、もとの電荷配置を変えないと考える。複数の点電荷の電場は線形に重ね合わせる。

冒頭の基本式は、現象の向き・保存則・変化率から導かれます。下の例題ではどの項を残し、何を既知量とするかを順に確認します。

代表的な計算式

E=Fq0,Eq=q4πε0r∣r∣3\displaystyle \mathbf E=\frac{\mathbf F}{q_0},\quad\mathbf E_q=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\mathbf r}{|\mathbf r|^3}

よくあるミス・検算の観点

  • 電場の向きは正の試験電荷が受ける力の方向。電子など負の電荷が受ける力は逆方向。
  • 電場を重ね合わせるとき、逆向きの成分は引き算になる。大きさのみを機械的に足さない。
  • μC→Cと距離rの二乗を忘れない。単位N/CはV/mと等価。

単位、符号、初期条件、ベクトルの向きを最後に確認しましょう。

例題1（基本）｜何を求めるかから始める

++E合成 = E₁+E₂
各点電荷が作る電場をベクトルで足す。逆向きの成分は相殺される。
なぜその法則を使う？ 計算の順序と検算
  1. +1.0 μCの電荷から1.0 m離れた点の電場を求める。
  2. 点電荷の電場の大きさはE=k|q|/r²。k≈8.99×10⁹ N·m²/C²。
  3. E=8.99×10⁹×(1.0×10⁻⁶)/(1.0)²=8.99×10³ N/C。
  4. 正電荷による電場は電荷から外向き。負電荷なら同じ大きさでも内向き。
  5. 二つ以上の電荷なら各電場ベクトルを計算し、x,y方向の成分ごとに加算する。

例題2（標準）｜x=−1 mとx=+1 mの各位置に+1 μCの点電荷を置く。原点の合成電場は。

  1. 左の正電荷による電場は右向き8.99×10³ N/C。右の正電荷による電場は左向きで同じ大きさ。
  2. ベクトル和は0 N/C。

演習問題（基本・標準・発展）

基本から段階的に考えるオリジナル問題です。内容確認中の単元には共通の復習問題も残しています。

+正の試験電荷に働く力
電場は、その位置の正の試験電荷が受ける単位電荷あたりの力。
基本 1

真空で+1.0 μCの点電荷から1.0 mの位置の電場の大きさと向きを求めよ。

+q=+1 μC、r=1 m電場のベクトル和を考える
問題1の考え方を整理する図。実際の数値・条件：真空で+1.0 μCの点電荷から1.0 mの位置の電場の大きさと向きを求めよ。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. E=kq/r²。q=1.0×10⁻⁶ C、r=1.0 mを代入。
  2. E≈8.99×10³ N/C。向きは電荷から外向き。
基本 2

点電荷からの距離を2倍にした。電場の大きさは何倍か。

+距離rを2倍電場のベクトル和を考える
問題2の考え方を整理する図。実際の数値・条件：点電荷からの距離を2倍にした。電場の大きさは何倍か。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 点電荷の電場は距離rの逆二乗に比例。
  2. E′/E=(r/2r)²=1/4。
基本 3

−1.0 μCの点電荷から1.0 mの位置の電場の大きさと向きは。

−q=−1 μC電場のベクトル和を考える
問題3の考え方を整理する図。実際の数値・条件：−1.0 μCの点電荷から1.0 mの位置の電場の大きさと向きは。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 大きさは正電荷と同じで約8.99×10³ N/C。
  2. 負電荷なので電荷へ向かう内向き。
標準 4

x=−1 mとx=+1 mの各位置に+1 μCの点電荷を置く。原点の合成電場は。

++x=−1, +1 mの正電荷電場のベクトル和を考える
問題4の考え方を整理する図。実際の数値・条件：x=−1 mとx=+1 mの各位置に+1 μCの点電荷を置く。原点の合成電場は。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 左の正電荷による電場は右向き8.99×10³ N/C。右の正電荷による電場は左向きで同じ大きさ。
  2. ベクトル和は0 N/C。
標準 5

x=0 mとx=2 mに各+1 μCの電荷を置く。x=3 mにおける合成電場の大きさと向きは。

++x=0, 2 mの正電荷電場のベクトル和を考える
問題5の考え方を整理する図。実際の数値・条件：x=0 mとx=2 mに各+1 μCの電荷を置く。x=3 mにおける合成電場の大きさと向きは。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 二つとも観測点より左なので電場は右向き。距離は3 mと1 m。
  2. E=kq(1/9+1)=8.99×10³×10/9≈9.99×10³ N/C、右向き。
発展 6

x=−1 mに+1 μC、x=+1 mに−1 μCを置く。原点での合成電場は。

+−x=−1に+、x=+1に−電場のベクトル和を考える
問題6の考え方を整理する図。実際の数値・条件：x=−1 mに+1 μC、x=+1 mに−1 μCを置く。原点での合成電場は。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 正電荷の電場は右、負電荷へ向かう電場も右。各大きさ8.99×10³ N/C。
  2. 合計約1.80×10⁴ N/C、右向き。
発展 7

(−1,0) mと(1,0) mに+1 μCを置く。(0,1) mでの合成電場を求めよ。

++左右対称の正電荷・上の点横方向は相殺・上方向は加算
問題7の考え方を整理する図。実際の数値・条件：(−1,0) mと(1,0) mに+1 μCを置く。(0,1) mでの合成電場を求めよ。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. どちらも観測点までの距離√2 m。各電場の大きさE₀=kq/(√2)²≈4.495×10³ N/C。
  2. 左右成分は相殺。上向き成分を加えると2E₀/√2≈6.36×10³ N/C、上向き。

問題に添えた図は考えるための模式図です。数値や関係を判断するときは必ず問題文の条件を優先してください。

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未完了

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