電気系大学生の自習室

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ブール代数と真理値表

論理値0と1に対してAND・OR・NOTを定義する。真理値表は回路の振る舞いを網羅する。

現象から理解する：何が起こり、なぜ起こる？

論理回路は0と1を入出力として扱います。ゲートがどのように入力の組を出力へ変えるかを真理値表で確認します。

論理回路では、実際の電圧を0または1という論理状態で抽象化します。ANDは二つの条件がそろうとき、ORはいずれかが真のとき、XORは二つが異なるときに出力1になります。

0と1の組み合わせをすべて列挙した真理値表を使うと、各ゲートの振る舞いを暗記に頼らず確認できます。

現象を表す公式・定義

YAND=AB,YOR=A+B,YXOR=A⊕B\displaystyle Y_{\rm AND}=AB,\quad Y_{\rm OR}=A+B,\quad Y_{\rm XOR}=A\oplus B

この公式を使えるのはどんなとき？

二値の入力A,Bの論理演算を扱うとき。+は普通の加算ではなくブールORです。

何を代入し、どう使う？

(A,B)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)を順に代入します。特に(1,1)ではOR=1、XOR=0なので混同しないでください。

使えない条件・検算のポイント

論理0が必ず物理的な0Vとは限りません。伝搬遅延やノイズ余裕は真理値表だけでは決まりません。

現象を図で理解する

ANDA=0B=0Y
論理入力 A・B と出力。図の座標・寸法は概念説明用です。

模式図は法則を理解するための補助です。実際に代入する数値や条件は、公式と問題文で確認してください。

式が成り立つ理由・導出の流れ

適用条件：A,B,Yは0または1。ANDは両方1、ORはどちらかが1、XORは異なるときだけ1。

冒頭の基本式は、現象の向き・保存則・変化率から導かれます。下の例題ではどの項を残し、何を既知量とするかを順に確認します。

代表的な計算式

Y=A∧B\displaystyle Y=A\land B

よくあるミス・検算の観点

  • ORとXORを混同しない。A=B=1ではOR=1、XOR=0。
  • 0/1の論理値を実際の電圧0V/5Vと常に同一視しない。論理レベルは規格・実装による。

単位、符号、初期条件、ベクトルの向きを最後に確認しましょう。

例題1（基本）｜何を求めるかから始める

ORA=0B=1Y
論理入力 A・B と出力。図の座標・寸法は概念説明用です。
なぜその法則を使う？ 計算の順序と検算
  1. 何を求めるかは出力Y。先に入力AとBを真理値表の行に置く。
  2. ANDは両方1のとき1、ORはいずれか1で1、XORは入力が異なるときだけ1。
  3. A=1,B=0なら AND=0、OR=1、XOR=1。
  4. 4行の真理値表を全列挙して回路を検算できる。

例題2（標準）｜A=1、B=0のNAND出力を答えよ。

  1. AND(1,0)=0。
  2. NANDはANDの否定なので1。

演習問題（基本・標準・発展）

基本から段階的に考えるオリジナル問題です。内容確認中の単元には共通の復習問題も残しています。

XORA=1B=0Y
論理入力 A・B と出力。図の座標・寸法は概念説明用です。
基本 1

A=1、B=1のANDの出力を答えよ。

ANDAB出力 Y
問題1の考え方を整理する図。実際の数値・条件：A=1、B=1のANDの出力を答えよ。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. ANDは両入力が1の場合のみ1。
  2. したがってY=1。
基本 2

A=1、B=1のXORの出力を答えよ。

XORAB出力 Y
問題2の考え方を整理する図。実際の数値・条件：A=1、B=1のXORの出力を答えよ。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. XORは入力値が異なる場合のみ1。
  2. 同じ1なのでY=0。
基本 3

A=0のNOTの出力は。

NOTA=0Y=1
問題3の考え方を整理する図。実際の数値・条件：A=0のNOTの出力は。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. NOTは入力の0/1を反転。
  2. 出力は1。
標準 4

A=1、B=0のNAND出力を答えよ。

NANDAB出力 Y
問題4の考え方を整理する図。実際の数値・条件：A=1、B=0のNAND出力を答えよ。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. AND(1,0)=0。
  2. NANDはANDの否定なので1。
標準 5

ド・モルガンの法則で NOT(A AND B) を書き換えよ。

ORAB出力 Y
問題5の考え方を整理する図。実際の数値・条件：ド・モルガンの法則で NOT(A AND B) を書き換えよ。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 否定を各入力へ配りANDをORに入れ換える。
  2. NOT A OR NOT B。
発展 6

F=(A OR B) AND (NOT C)。A=1,B=0,C=0のFを求めよ。

ANDAB出力 Y
問題6の考え方を整理する図。実際の数値・条件：F=(A OR B) AND (NOT C)。A=1,B=0,C=0のFを求めよ。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. A OR B=1、NOT C=1。
  2. ANDを取ってF=1。
発展 7

半加算器のA=1,B=1に対して和Sと桁上がりCを求めよ。

半加算器AB出力 Y
問題7の考え方を整理する図。実際の数値・条件：半加算器のA=1,B=1に対して和Sと桁上がりCを求めよ。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 和S=A XOR B=0。
  2. 桁上がりC=A AND B=1。

問題に添えた図は考えるための模式図です。数値や関係を判断するときは必ず問題文の条件を優先してください。

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未完了

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