電気系大学生の自習室

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磁束・ファラデーの電磁誘導

閉回路を貫く磁束が変化すると起電力が生まれる。負号は磁束変化を打ち消す向き（レンツの法則）を表す。

現象から理解する：何が起こり、なぜ起こる？

電磁誘導は、コイルを貫く磁束が時間とともに変わることで起電力が生じる現象です。磁場の強さが同じでも、向きやコイルの面積が変われば磁束は変化します。

面を貫く磁束が変わると、その周囲を一周する向きの電場が生じ、コイルに起電力が発生します。磁束は磁場の強さだけでなく、面積や面の向きが変わっても変化します。

誘導電流は元の磁束変化を妨げる向きに流れます。このレンツの法則は負号で表され、力を加えて発電する場合のエネルギー保存とも整合します。

現象を表す公式・定義

E=−NdΦBdt,ΦB=∫SB⋅dS\displaystyle \mathcal E=-N\frac{d\Phi_B}{dt},\quad\Phi_B=\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf S

この公式を使えるのはどんなとき？

同一磁束が各巻線を貫くNターンのコイル。磁束の正方向を一貫して定めた場合。

何を代入し、どう使う？

ℰは起電力[V]、ΦBは1巻線あたりの磁束[Wb]、Nは巻数。磁束の差ΔΦと時間Δtが与えられたら平均起電力−NΔΦ/Δtを使います。

使えない条件・検算のポイント

巻線ごとに磁束が異なる場合は鎖交磁束で考えます。時間的に磁束が変化しなければ、この機構で起電力は発生しません。

現象を図で理解する

紙面の奥向きのBΦB=B A cosθ−dΦB/dtレンツの法則
磁束が変わると、コイルに誘導起電力が発生。
一定の ΔB を何秒で変える？N=20, A=0.01m²

模式図は理解を助けるための相対表示です。実際のSI単位の値や境界条件は式・例題で確認してください。

模式図は法則を理解するための補助です。実際に代入する数値や条件は、公式と問題文で確認してください。

式が成り立つ理由・導出の流れ

適用条件：ファラデーの法則 ε=−N dΦB/dt、Nは巻数。各巻きが同じ磁束を受け、磁束の正方向をあらかじめ選ぶ。直線的な時間変化で数値評価。

冒頭の基本式は、現象の向き・保存則・変化率から導かれます。下の例題ではどの項を残し、何を既知量とするかを順に確認します。

代表的な計算式

E=−dΦBdt\displaystyle \mathcal E=-\frac{d\Phi_B}{dt}

よくあるミス・検算の観点

  • B（T）と磁束Φ（Wb）を混同しない。Φ=BAcosθでθは磁場と面法線の角度。
  • 巻数Nを掛け忘れない。法線方向・巻数・面積が同じなら鎖交磁束はNΦ。
  • 負符号は任意に決めた正方向に対するレンツの法則の符号。起電力の大きさと区別する。

単位、符号、初期条件、ベクトルの向きを最後に確認しましょう。

例題1（基本）｜何を求めるかから始める

紙面の奥向きのBN=20、A=0.01 m²ΔB=0.3 T, Δt=0.2 s|ε|=0.3 V
誘導起電力は単位時間あたりの鎖交磁束変化に比例。
なぜその法則を使う？ 計算の順序と検算
  1. 求めたいのは起電力の大きさ。法線方向に一様な磁場なら1巻きあたりΦB=B A。
  2. N=20、面積A=0.010 m²、磁場0.10 Tから0.40 Tまで0.20秒で増加すると仮定。
  3. 磁束変化は1巻きあたりΔΦ=0.010×(0.40−0.10)=0.0030 Wb。
  4. ファラデーの法則から |ε|=N|ΔΦ|/Δt=20×0.0030/0.20=0.30 V。
  5. 起電流の方向はレンツの法則で決める。誘導磁場は元の磁束変化を妨げる向き。

例題2（標準）｜N=100、A=0.020 m²、法線方向Bが0→0.30 Tへ0.50秒で変化。|ε|は。

  1. |ΔΦ|=0.020×0.30=0.0060 Wb/巻き。
  2. 100×0.0060/0.50=1.2 V。

演習問題（基本・標準・発展）

基本から段階的に考えるオリジナル問題です。内容確認中の単元には共通の復習問題も残しています。

紙面の奥向きのB磁束の変化に逆らう−dΦB/dtレンツの法則
増加する紙面奥向き磁束には、紙面手前向きの誘導磁場が対抗。
基本 1

面積0.020 m²の1巻きコイルに法線方向0.50 Tの一様磁場。磁束はいくらか。

磁束 ΦB(t)誘導起電力 εε=−N dΦB/dt
問題1の考え方を整理する図。実際の数値・条件：面積0.020 m²の1巻きコイルに法線方向0.50 Tの一様磁場。磁束はいくらか。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. Φ=BA=0.50×0.020。
  2. 0.010 Wb。
基本 2

1巻きコイルの磁束が0.060 Wbだけ0.020秒で減少する。誘導起電力の大きさは。

磁束 ΦB(t)誘導起電力 εε=−N dΦB/dt
問題2の考え方を整理する図。実際の数値・条件：1巻きコイルの磁束が0.060 Wbだけ0.020秒で減少する。誘導起電力の大きさは。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. |ε|=|ΔΦ|/Δt。
  2. 0.060/0.020=3.0 V。
基本 3

正方向に定義した磁束が増加するとき、起電力ε=−dΦ/dtの符号は。

磁束 ΦB(t)誘導起電力 εε=−N dΦB/dt
問題3の考え方を整理する図。実際の数値・条件：正方向に定義した磁束が増加するとき、起電力ε=−dΦ/dtの符号は。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. dΦ/dt>0。
  2. したがってε<0。
標準 4

N=100、A=0.020 m²、法線方向Bが0→0.30 Tへ0.50秒で変化。|ε|は。

磁束 ΦB(t)誘導起電力 εε=−N dΦB/dt
問題4の考え方を整理する図。実際の数値・条件：N=100、A=0.020 m²、法線方向Bが0→0.30 Tへ0.50秒で変化。|ε|は。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. |ΔΦ|=0.020×0.30=0.0060 Wb/巻き。
  2. 100×0.0060/0.50=1.2 V。
標準 5

紙面の手前向き磁束が減少中。誘導電流は紙面から見て時計回りか反時計回りか。

Bは手前向き・減少中誘導起電力 ε反時計回りに誘導
問題5の考え方を整理する図。実際の数値・条件：紙面の手前向き磁束が減少中。誘導電流は紙面から見て時計回りか反時計回りか。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 減少を補うため、手前向きの誘導磁場が必要。
  2. 右ねじの法則より反時計回り。
発展 6

面法線が磁場となす角がθ=ωt。N巻きの回転コイルで最大起電力を求めよ。

θ=ωtΦ=BA cosθ|ε|max=NBAω
問題6の考え方を整理する図。実際の数値・条件：面法線が磁場となす角がθ=ωt。N巻きの回転コイルで最大起電力を求めよ。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. 鎖交磁束NΦ=NBA cos(ωt)。
  2. ε=NBAω sin(ωt)、最大値はNBAω。
発展 7

B=0.50 T、棒の長さℓ=0.20 m、速度v=3.0 m/s。棒が磁場と長さに直交して動くとき運動起電力は。

移動棒 ℓv →磁束密度Bは紙面垂直|ε|=Bℓv
問題7の考え方を整理する図。実際の数値・条件：B=0.50 T、棒の長さℓ=0.20 m、速度v=3.0 m/s。棒が磁場と長さに直交して動くとき運動起電力は。。寸法・長さは模式的に表しています。
手順と解説を見る
  1. |ε|=Bℓv。
  2. 0.50×0.20×3.0=0.30 V。

問題に添えた図は考えるための模式図です。数値や関係を判断するときは必ず問題文の条件を優先してください。

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未完了

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